📌 수열이 끝이 없다고? 그럼 어디로 가는 걸까?
무한수열은 말 그대로 끝이 없는 수열입니다.
1, 2, 3, 4, 5, … 처럼 계속 이어지죠.
그런데 이 무한히 계속되는 수열이 어떤 하나의 값에 가까워질 수도 있고,
반대로 끝없이 커지거나 튕겨버릴 수도 있습니다.
이런 성질을 구분하는 개념이 바로 수렴과 발산입니다.
오늘은 수식이 아닌 감각적으로 이해할 수 있도록 설명드릴게요.
✅ 무한수열이란?
무한수열이란 항의 개수가 무한히 많은 수열입니다.
예시 1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, … → 무한히 증가하는 수열
예시 2:
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … → 무한히 작아지는 수열
→ 둘 다 끝이 없다는 공통점이 있지만, 성질은 다릅니다.
✅ 수렴(Convergence)이란?
수열이 계속 진행되면서 어떤 하나의 값에 가까워지는 것입니다.
예시
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
→ 점점 0에 가까워진다
→ 이 수열은 0에 수렴한다
💡 수렴의 핵심은 “계속 더해지긴 하지만, 결국 가까워지는 값이 있다”는 것!
✅ 발산(Divergence)이란?
수열이 어떤 값에도 가까워지지 않고 무한히 커지거나 튀는 것입니다.
예시 1: 무한히 커짐
1, 2, 3, 4, 5, … → → → ∞
→ 발산
예시 2: 값이 왔다 갔다 함
1, −1, 1, −1, 1, −1, …
→ 왔다 갔다 반복 → 발산
💡 발산은 “어디론가 안정되지 않는다”가 핵심입니다.
✅ 수렴과 발산 비교표
개념 정의 대표 예시
| 수렴 | 하나의 값에 가까워지는 수열 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, … → 0에 수렴 |
| 발산 | 한 값에 가까워지지 않는 수열 | 1, 2, 3, 4, … → 무한 발산 |
| 1, −1, 1, −1, … → 진동 발산 |
✅ 수렴하는 무한수열은 합도 구할 수 있다!
우리가 잘 아는 공식
S = a / (1 − r)
→ 무한등비수열의 합 공식!
단, 조건이 있음!
공비 r의 절댓값이 1보다 작아야 수렴
→ |r| < 1
예시
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
→ 공비 r = 1/2
→ 합 S = 1 / (1 − 1/2) = 2
💬 마무리 요약
- 무한수열은 끝없이 이어지는 수열이다.
- 수렴은 하나의 값에 가까워짐 (대표: 1/2ⁿ)
- 발산은 끝없이 커지거나 튀는 경우
- 수렴하는 수열은 무한합 계산도 가능하다!
- 무한등비수열의 합 공식은 |r| < 1일 때만 사용 가능
도움이 되셨다면 좋아요 부탁드립니다 😊
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